В мат нещо май те спъва, гемията потъва - спасител се явява, задачата решава и я обяснява.

Нека шестцифреното числото е ∗∗∗∗∗7 (всяка цифра е означена със ∗) и нека X = ∗∗∗∗∗, т.е. X е числото образувано от първите пет цифри.

От условието имаме, че 7∗∗∗∗∗ = 5 . ∗∗∗∗∗7 или 700 000 + Х = 5(10Х + 7).

700 000 + Х = 5(10Х + 7)   →   700 000 + Х = 50Х + 35   →   49Х = 700 000 – 35 = 699 965   →  
Х = 699 965 : 49 = 14 285.

Следователно, търсеното число е 142 857.

Нито едно от четирите числа не може да бъде равно на 1, защото 1 е взаимно просто с всяко число.

Понеже НОК на четирите числа е равно на 30 = 2.3.5, то всяко от тези числа може да съдържа като прост множител 2, 3 или 5 най-много по веднъж (т.е. не може да имаме число, което съдържа, например, 2.2 или 3.3.3).

Следователно, четирите числа са някои от числата 2, 3, 5, 2.3, 2.5, 3.5, 2.3.5.

Най-много едно от числата 2, 3 или 5 може да бъде намислено, защото всеки две от тези числа са взаимно прости.

Числото 2.3.5 трябва да бъде едно от намислените.

Да допуснем, че числото 2.3.5 не е от намислените. Тогава, задължително трябва да са намислени числата 2, 2.3 и 2.5 (за да се дели произведението на 24 = 2.2.2.3) и следователно, не може да са намислени числата 3, 5 и 3.5 (взаимно просто е с 2). В такъв случай обаче не може да се намислят четири числа. Следователно, числото 2.3.5 е едно от намислените.

Ако е намислено числото 2, то не може да са намислени числата 3, 5 и 3.5 и тогава, четирите намислени числа трябва да са 2, 2.3, 2.5 и 2.3.5, но 2.2.3.2.5.2.3.5 = 3600 = 60², т.е. точен квадрат, което е невъзможно.

Ако е намислено числото 3, то не може да са намислени числата 2, 5 и 2.5 и тогава, четирите намислени числа трябва да са 3, 2.3, 3.5 и 2.3.5, но в този случай произведението на четирите числа не се дели на 24.

Аналогично, ако е намислено числото 5, то не може да са намислени числата 2, 3 и 2.3 и тогава, четирите намислени числа трябва да са 5, 2.5, 3.5 и 2.3.5, но и в този случай произведението на четирите числа не се дели на 24.

Следователно, четирите намислени числа може да бъдат само 2.3, 2.5, 3.5 и 2.3.5.

Произведението им не е точен квадрат и се дели на 24.

0 общи точки – 4 успоредни прави (Фигура А).

1 обща точка – 4 прави, които се пресичат в една точка (Фигура Б).

3 общи точки – 3 успоредни прави, които се пресичат от четвърта права (Фигура В) или 3 прави, които се пресичат в една точка и четвърта права, успоредна на някоя от трите пресичащи се прави (Фигура Г).

4 общи точки – 2 двойки успоредни прави (Фигура Д) или 3 прави, които се пресичат в една точка и четвърта права, пресичаща всяка от другите 3 прави (Фигура Е).

5 общи точки – двойка успоредни прави и 2 прави, които се пресичат и всяка от тях пресича двете успоредни прави (Фигура Ж). Никои 3 прави не минават през една точка.

6 общи точки – 4 прави в общо положение, никои 2 не са успоредни и никои 3 не се пресичат в една точка (Фигура З).

4 прави не може да имат повече от 6 общи точки. Върху всяка права може да лежат не повече от 3 пресечни точки – точките, в които останалите 3 прави пресичат съответната права. От друга страна, всяка пресечна точка лежи едновременно поне върху 2 прави. Следователно, пресечните точки може да бъдат най-много (4.3)/2 = 6.

Фигури А – З:



За да докажем, че 4 прави не може да имат 2 пресечни точки, нека разгледаме конфигурациите, при които 3 прави имат, съответно, 0, 1 или 2 общи точки и как може да се променят тези конфигурации при добавяне на четвърта права. (Конфигурацията, в която 3 прави имат 3 общи точки в случая не ни интересува.

Нека трите прави имат 0 общи точки – трите прави са успоредни. Ако добавим права успоредна на трите прави, то броят на пресечните точки ще остане 0 (Фигура И). Ако добавим права пресичаща трите прави, то броят на пресечните точки ще стане 3 (Фигура Й).

Нека трите прави имат 1 обща точка – трите прави се пресичат в една точка. Ако добавим права, която минава през същата точка, то броят на пресечните точки ще остане 1 (Фигура К). Ако добавим права успоредна на една от трите прави, то броят на пресечните точки ще стане 3 (Фигура Л). Ако добавим права пресичаща и трите прави, то броят на пресечните точки ще стане 4 (Фигура М).

Нека трите прави имат 2 общи точки – две успоредни прави, пресечени от трета права. Ако добавим права, успоредна на двете прави, то броят на пресечните точки ще стане 3 (Фигура Н). Ако добавим права, успоредна на другата права, то броят на пресечните точки ще стане 4 (Фигура О). Ако добавим права, минаваща през някоя от двете пресечни точки, то броят на пресечните точки ще стане 3 (Фигура П). Ако добавим права, пресичаща трите прави, то броят на пресечните точки ще стане 5 (Фигура Р).

Фигури И – Р:



Следователно, четири прави не може да имат 2 пресечни точки.